[曲线积分笔记]第一类曲线积分

曲线积分

参考自https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et

对弧长的曲线积分

也被称为第一类曲线积分（特点是对弧长积分没有方向）

对f(x,y)f(x,y)f(x,y)上的一段弧可以进行划分为若干段ΔSi\Delta S_iΔSi​，其中f(x,y)f(x,y)f(x,y)也可以理解为弧的一个性质，例如若f(x,y)f(x,y)f(x,y)表示线密度，在该条件下曲线积分则表示：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量。

M=lim⁡λ→0∑i=1hρ(ξi,ηi)ΔSi=∫Lρ(x,y)dsM=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^h \rho(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i ={ \int_L {\rho \left( x,y \left) ds\right. \right. }}M=λ→0lim​i=1∑h​ρ(ξi​,ηi​)ΔSi​=∫L​ρ(x,y)ds

所以一个典型的积分定义式是这样的：

∫Lf(x,y)ds{ \int_L {f \left( x,y \left) ds\right. \right. }}∫L​f(x,y)ds

L是积分区域，也就是那段弧。（类比于一元积分，积分区域可以是x轴或y轴，二元积分的积分区域是一个二维区域）

对于这样一个积分

f(x,y)f(x,y)f(x,y)是定义在LLL上的函数且有界L的分法任意在每一段中(ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i)(ξi​,ηi​)的取法任意（取这一段的头、尾、中间什么的都行）当f(x,y)f(x,y)f(x,y)恒等于1时，即∫L1ds\int _L1ds∫L​1ds其意义是求弧的长度如下图的∫Lzds\int_L zds∫L​zds表示的是其到xOyxOyxOy平面组成的面的面积

物理意义

质量MMM

M=∫Lf(x,y)dsM=\int_L f(x,y)dsM=∫L​f(x,y)ds

质心x‾\overline xx和y‾\overline yy​

x‾=∫Lxf(x,y)ds∫Lf(x,y)dsy‾=∫Lyf(x,y)ds∫Lf(x,y)ds\overline x=\frac{\int_Lxf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds}\quad \overline y=\frac{\int_Lyf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds}x=∫L​f(x,y)ds∫L​xf(x,y)ds​y​=∫L​f(x,y)ds∫L​yf(x,y)ds​

转动惯量

Ix=∫L=y2f(x,y)dsIy=∫x2f(x,y)dsI_x=\int_L=y^2f(x,y)ds \quad I_y=\int x^2f(x,y)dsIx​=∫L​=y2f(x,y)dsIy​=∫x2f(x,y)ds

性质

被积函数可加性

∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=α∫Lf(x,y)ds+β∫Lg(x,y)ds\int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_L f(x,y)ds+\beta\int_L g(x,y)ds∫L​[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=α∫L​f(x,y)ds+β∫L​g(x,y)ds

积分区域可加性

∫L1+L2f(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds\int_{L_1+L_2} f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds+\int_{L_2} f(x,y)ds∫L1​+L2​​f(x,y)ds=∫L1​​f(x,y)ds+∫L2​​f(x,y)ds

若f(x,y)≤g(x,y)f(x,y) \le g(x,y)f(x,y)≤g(x,y)对于(∀(x,y)∈L)(\forall(x,y) \in L)(∀(x,y)∈L)则有：

∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds\int_L f(x,y)ds \le \int_L g(x,y)ds∫L​f(x,y)ds≤∫L​g(x,y)ds

（类比于一元积分而二元积分）亦存在对称性，这个时候要看某个变量的奇偶性

其中绿色笔迹是对于L关于y轴对称的情况

计算技巧及例题

方法一：统一变量，例如y用x表示

积分区域换方法表示 L:y=y(x),a≤y≤bL:y=y(x),a\le y\le bL:y=y(x),a≤y≤b被积函数换方法表示f(x,y)→f(x,y(x))f(x,y) \to f(x,y(x))f(x,y)→f(x,y(x))弧微分的改变 ds=(dx)2+(dy)2=1+(dydx)2dx=1+(y′)2dxds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2 }dx=\sqrt{1+(y')^2}dxds=(dx)2+(dy)2​=1+(dxdy​)2​dx=1+(y′)2​dx

这样整个积分就有了这样的转化（曲线积分转化为定积分）

∫Lf(x,y)=∫abf(x,y(x))1+(y′)2dx\int_Lf(x,y)=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+(y')^2}dx∫L​f(x,y)=∫ab​f(x,y(x))1+(y′)2​dx

当然也可以是对y轴进行积分（假设c≤y≤dc \le y \le dc≤y≤d）

∫Lf(x,y)=∫cdf(x(y),y)1+(x′(y))2dy\int_Lf(x,y)=\int_c^df(x(y),y)\sqrt{1+(x'(y))^2}dy∫L​f(x,y)=∫cd​f(x(y),y)1+(x′(y))2​dy

例1：对于∫Lyds\int_L \sqrt{y}ds∫L​y​ds其中LLL是y=x2y=x^2y=x2上(0,0)(0,0)(0,0)到(1,1)(1,1)(1,1)的一段弧，则有：

∫Ly=∫01x21+(2x)2dx=∫01x1+4x2dx\int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{x^2} \sqrt{1+(2x)^2}dx=\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx∫L​y​=∫01​x2​1+(2x)2​dx=∫01​x1+4x2​dx

拆根号要注意可能需要添加绝对值，由于这里的x∈[0,1]x \in [0,1]x∈[0,1]所以不用加，但是某些情况还是需要加一下的。

∫01x1+4x2dx=112(55−1)\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)∫01​x1+4x2​dx=121​(55​−1)

或者对Y轴进行一个分的积，咱就是说由于x=yx=\sqrt{y}x=y​，把这个带入得到

∫Ly=∫01y1+14ydy=∫01y+14dy=112(55−1)\int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{y} \sqrt{1+\frac{1}{4y}}dy=\int_0^1 \sqrt{y+\frac{1}{4}}dy=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)∫L​y​=∫01​y​1+4y1​​dy=∫01​y+41​​dy=121​(55​−1)

由于被积函数没得xxx所以是不用改动的，加一下积分上下限替换一下dxdxdx就行

有必要注意的是∫Lf(x,y(x))\int_L f(x,y(x))∫L​f(x,y(x))是一个形式，只是说这样的表示下，那里是一个与x有关的函数，并不真的是写个f(x,y(x))f(x,y(x))f(x,y(x))上去，比如说在本例里是∫Ly\int_L \sqrt{y}∫L​y​

有没有一种可能，我是说，坐标是参数方程描述的。不过也没关系，对于

f(x)={x=x(t)y=y(t)t1≤t≤t2 f(x)=\left\{

\begin{aligned}

x & = & x(t) \\

y & = & y(t) \\

\end{aligned}

\right.

\quad

t_1 \le t \le t2

f(x)={xy​==​x(t)y(t)​t1​≤t≤t2

这样就有

∫Lf(x,y)dx=∫t1t2f(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2dt\int_Lf(x,y)dx=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt∫L​f(x,y)dx=∫t1​t2​​f(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2​dt

例2.1：计算I=∫L1x2+y2dsI=\int_{L1} \sqrt{x^2+y^2}dsI=∫L1​x2+y2​ds其中L1:x2+y2=ax(y>0,a>0)L_1:x^2+y^2=ax\quad(y>0,a>0)L1​:x2+y2=ax(y>0,a>0)

这里积分区域可以转化为圆(x−a2)2+y2=a24(x-\frac a2)^2+y^2=\frac{a^2}{4}(x−2a​)2+y2=4a2​的y轴上半部分，但是参数方程做起来会更方便

利用cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2t+\sin^2t=1cos2t+sin2t=1得到

{x−a2=a2cos⁡ty=a2sin⁡t→{x=a2cos⁡t+a2y=a2sin⁡t(0≤t≤π)\left\{

\begin{aligned}

x-\frac a2=\frac a2 \cos t \\

y=\frac a2 \sin t \\

\end{aligned}

\right.

\quad

\to

\quad

\left\{

\begin{aligned}

x=\frac a2 \cos t +\frac a2\\

y=\frac a2 \sin t \\

\end{aligned}

\right.

\quad

(0 \le t \le \pi)

⎩⎪⎨⎪⎧​x−2a​=2a​costy=2a​sint​→⎩⎪⎨⎪⎧​x=2a​cost+2a​y=2a​sint​(0≤t≤π)

依据上式将积分化为

∫L1=∫0π(a2+a2cos⁡t)2+a24sin⁡2t⋅(−a2sin⁡t)2+(a2cos⁡t)2dt

\int_{L1}=\int_0^\pi \sqrt{(\frac a2+\frac a2 \cos t)^2+\frac{a^2}{4}\sin^2t}·

\sqrt{(-\frac a2 \sin t)^2+(\frac a2 \cos t)^2}dt

∫L1​=∫0π​(2a​+2a​cost)2+4a2​sin2t​⋅(−2a​sint)2+(2a​cost)2​dt

因而化简为

∫0πa24+a22cos⁡t+a24⋅a2dt=a2

\int_0^\pi \sqrt{\frac{a^2}4 + \frac{a^2}2 \cos t+\frac{a^2}4}·\frac a2dt=a^2

∫0π​4a2​+2a2​cost+4a2​​⋅2a​dt=a2

例2.2：计算I=∫L2x2+y2dsI=\int_{L2} \sqrt{x^2+y^2}dsI=∫L2​x2+y2​ds其中L1:x2+y2=ax(a>0)L_1:x^2+y^2=ax\quad(a>0)L1​:x2+y2=ax(a>0)

这玩意就是对称性，两倍上面的结果就是了。画图一眼看出来。L2L_2L2​关于xxx轴对称且是偶函数。所以有：

∫L2=2∫L1\int_{L_2}=2\int{L_1}∫L2​​=2∫L1​

例3

对于周长为aaa的椭圆L:x24+y23=1L:\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1L:4x2​+3y2​=1求I=∮L(2xy+3x2+4y2)dsI=\oint_L{(2xy+3x^2+4y^2)}dsI=∮L​(2xy+3x2+4y2)ds

首先这是一个封闭的曲线。先化简III得到

I=2∮xyds+∮(3x2+4y2)dsI=2\oint{xy}ds +\oint{(3x^2+4y^2)ds}I=2∮xyds+∮(3x2+4y2)ds

对于该式由于第一部分的被积函数xyxyxy关于y是奇函数，并且LLL关于x轴对称，所以该部分和为0。接下来考虑第二部分

由椭圆定义可知3x2+4y2=123x^2+4y^2=123x2+4y2=12，即原式可写为

I=0+∮L12ds=12∮1ds=12∗周长=12aI=0+\oint_L{12}ds=12\oint 1ds=12*周长=12aI=0+∮L​12ds=12∮1ds=12∗周长=12a

该性质可以推广到三维情况，即对于参数方程

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)t1≤t≤t2

\left\{

\begin{aligned}

x=x(t) \\

y = y(t)\\

z=z(t)

\end{aligned}

\right.

\quad

t_1 \le t \le t_2

⎩⎪⎨⎪⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​t1​≤t≤t2​

其曲线积分的公式是

∫Lf(x,y,z)=∫t1t2f(x(t),y(t),z(t))(x′)2+(y′)2+(z′)2dt

\int_Lf(x,y,z)=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))

\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}dt

∫L​f(x,y,z)=∫t1​t2​​f(x(t),y(t),z(t))(x′)2+(y′)2+(z′)2​dt